1926 yılında Çine'de doğdu. 1951'de İstanbul Üniversitesi Hukuk Fakültesi'nden ayrılıp, Muhsin Ertuğrul'un kurduğu "Küçük Sahne"de tiyatro hayatına başladı.

lk defa Fareler ve İnsanlar piyesinde sahneye çıkan Şükran Güngör, Karakolda, Onikinci Gece, Babayiğit, Hamlet, Örümcek, Her Yerde Bulut, Bir Ümit İçin ve Godot'yu Beklerken adlı oyunlarda önemli rolleri başarıyla canlandırdı.

1956 yılı başlarında Küçük Sahne'den ayrılarak Devlet Tiyatrosu'na girdi. Daha sonra katıldığı Kent Oyuncuları'nda, Raşomon, Aptal Kız, Aşk Efsanesi, Nalınlar, Derya Gülü, Miras, Mary Mary, Üç Kuruşluk Opera, Pembe Kadın, Vanya Dayı, Çöl Faresi, Bedel, Kim Kimi Kiminle, Ver Elini Broadway, Batak Göl, [[Buzlar Çözülmeden]], Arzu Tramvayı, Harold ve Maude, Lütfen Kızımla Evlenir Misiniz?, Küçük Mutluluklar, [[Umut Şarkıları]], Maria Callas, Martı, Nükte ve Çözüm adlı oyunlarda rol aldı.

Kim Korkar Hain Kurttan? ve Küçük Devlet oyunlarında yönetmenlik yaptı.

Fatma Bacı (1972), Kızım Ayşe (1974), Dul Bir Kadın (1985), Nihavend Mucize (1997), Güle Güle (2000), Herkes Kendi Evinde (2000), Büyük Adam Küçük Aşk (2001) adlı sinema filmlerinde oynayan Şükran Güngör, Aşk-I Memnu (1975), Yarın Artık Bugündür (1987), Uğurlugil Ailesi adlı televizyon dizilerinde de önemli roller üstlendi.

Tiyatro ve sinemada yaptığı çalışmalar ve çeşitli festivallerde sayısız ödül alan Güngör, son olarak 13. Uluslararası Tiyatro Festivali'nde "Onur Ödülü"üne ve Ankara Film Festivali'nde Büyük Adam Küçük Aşk filmindeki emekli yargıç rolüyle, "En İyi Erkek Oyuncu" ödülüne layık görüldü.

En son çalışması, TRT için çekilen Canım Kocacığım adlı televizyon dizisidir.

15 Eylül 2002'de pankreas kanseri nedeniyle hayatını kaybetti.