1904 yılında Seydişehir'de doğdu. İlk öğrenimini, Rüşdiyeyi ve Konya Sultanisi'ni birincilikle bitirip biyoloji öğretmeni oldu. Aynı yıl İstanbul Hukuk Fakültesi'ne girdi. 1923 yılında İstanbul Üniversitesinde öğrenci olduğu yıllarda Üniversite'nin Devlet Bursu ile Avrupa'ya öğrenci gönderileceğine dair üniversite duvarlarında gördüğü ilana başvuran 150 kişi arasından seçilen 11 kişiden birisi olarak Berlin Üniversitesinde tıp ve biyoloji öğrenimi görüp 1929 yılında pekiyi derece ile tıp doktoru oldu. Hagen ve Düsseldorf hastanelerinde asistan olarak çalıştı.Yurda dönünce Ankara Hükûmet Tabipliği ve Gazi Terbiye Enstitüsü biyoloji öğretmenliği görevlerinde bulundu. 1933 yılında İstanbul Tıp Fakültesi doçentliğini kazandı. 1940 yılında fizyoloji profesörü oldu.
1943 yılında Konya Milletvekili seçilip, aynı yıl Halkevleri Yüksek Danışma Kurulu Başkanlığı'na, sonra da Diyarbakır Bölge Müfettişliğine getirildi.7 Haziran 1945'te Türkiye'nin ilk çalışma bakanı oldu.1947'de Uluslararası Çalışma Konferansı ikinci başkanlığına seçildi.Eylül 1947'de bakanlıktan ayrıldı.CHP'nin 1950'de seçimleri kaybetmesi üzerine bir süre siyasetten uzaklaştı.
1950 yılında yeniden ilim ve meslek hayatına dönen Irmak, Münih, daha sonra İstanbul Tıp Fakültesi'nde akademik hayatını sürdürdü. 1974 yılında Kontenjan Senatörü seçildi.CHP'nin Milli Selamet Partisi (MSP) ile kurduğu koalisyon hükümetinin istifasından sonra 17 Kasım 1974'te partilerüstü hükümeti kurmakla görevlendirildi.Oluşturduğu hükümet için TBMM'de yapılan güvenoylamasında, 450 milletvekilinden yalnızca 18'inin lehinde oy kullanması dolaysıyla güvenoyu alamamasına karşın 31 Mart 1975'e değin başbakanlık yaptı.12 Eylül Darbesi'nden (1980) sonra 15 Ekim 1981'de kurulan Danışma Meclisi'ne Konya üyesi olarak atandı ve 27 Ekim'de bu meclisin başkanlığına seçildi.Irmak bu görevi TBMM Başkanlığına Necmettin Karaduman'ın 4 Aralık 1983'te seçilmesine değin sürdürdü.
11 Kasım 1990 tarihinde İstanbul'da vefat etti. Mezarı Aşiyan Mezarlığı'ndadır. Almanca, Fransızca ve Arapça bilen Sadi Irmak,evli ve Prof.Dr.Yakut Irmak Özden ile Eski Milletvekillerinden Sabri Irmak (1936-1991)'ın babasıydı.